نظريّة الأعداد الاساسيّة ~

نظرية الأعداد الأساسية
في هذا المجال، تدرس الأعداد دون اللجوء لتقنيات آتية من فروع أخرى للرياضيات. مسألة قابلية القسمة وخوارزمية إقليدس تمكن من حساب القاسم المشترك الأكبر و تفكيك الأعداد إلى أعداد أولية والبحث عن الأعداد المثالية والتقريب تنتمي لهذا المجال.

النتائج هي مبرهنة فيرما الصغرى ومبرهنة أويلر, ثم مبرهنة الباقي الصيني وقانون الانعكاس الرباعي. خاصيات الدوال الجذائية مثل دالة موبيوس ودالة
أويلر تمت دراستها ; وأيضا المتتاليات مثل عاملي وأعداد فيبوشى.

مسائل عديدة في نظرية الأعداد يمكن أن يعبر عنها من داخل نظرية الأعداد الأساسية، ولكنها في حقيقة الأمر معقدة وتحتاج إلى دراسات عميقة ومقاربات جديدة، تقع خارج نطاق نظرية الأعداد الأساسية. فيما يلي بعض من الأمثلة :
• حدسية غولدباخ المتمثلة في كتابة الأعداد الزوجية على شكل مجموع عددين أوليين,
• مبرهنة ميخائيليتشو والمعروفة سابقا بحدسية كاتالان والخاصة بأس أعداد طبيعية متتالية,
• حدسية التوأمين الأولية التي تنص على أن مجموعة الأعداد الأولية التوأم غير منتهية,
• حدسية كولاتز أو مايعرف بحدسية .
• مبرهنة فيرما الأخيرة (وضعت عام 1637 ولم تحل حتى عام 1994) والمتمثلة في استحالة إيجاد ثلاثة أعداد طبيعية تختلف عن الصفر x و y و z حيث بانسبة لعدد طبيعي ما n أكبر قطعا من 2.

تمت البرهنة على أن نظرية المعادلات الديوفانتية غير محددة (انظر المسألة العاشرة ضمن مسائل هيلبرت).
نظرية الأعداد التحليلية

تستعمل أدوات الحساب والتحليل العقدي لدراسة مسائل حول الأعداد الطبيعية. مبرهنة الأعداد الأولية وفرضية ريمان هي بعض الأمثلة. معضلة ويرينغ (المتمثلة في تمثيل عد طبيعي ما على شكل مربعات أو مكعبات أو ما شابه ذلك) وحدسية التوأمين الأولية(إيجاد أزواج من الأعداد الأولية يكون الفرق بينهما مساويا ل 2) وحدسية غولدباخ (كتابة الأعداد الزوجية على شكل مجموع عددين أوليين) كلها مسائل تُدرس بطرق تحليلية.

البراهين على أن العديد من الثابتات في الرياضيات أعداد متسامية أمثل π وe تدخل أيضا في مجال نظرية الأعداد التحليلية.
ت
م معالجتها بواسطة طرق تحليلية. الدليل على كون أعداد مثل عدد π وعدد أويلر هي أعداد لا يمكنها أن تكون حلولا لأي معادلة جبرية تم تصنيفها في هذا الإطار أي تحليل الأعداد.

في حين النتائج الخاصة بالأعداد التي ليس حلا لأي معادلة جبرية, تبدو خارج دراسة الأعداد الطبيعية.