إقليدس وبعض مبادئه في الرياضيات ومسلماته وكيفية إجاد القاسم المشترك الأكبر دون التحليل إلى عوامل
إقليدس أو أقليد ( حوالي 325 ق.م - حوالي 265 ق.م ) عالم رياضي يوناني عاش في مدينة الإسكندرية ويعتبر أب الهندسة الرياضية وكانت لأعماله أهمية كبيرة في تاريخ الرياضيات، وهي تتعلق بالمؤلف المنسوب إليه المسمى أصول الهندسة الذي يتكون من ثلاثة عشر كتابا تتناول الهندسة المستوية ونظرية الأعداد الأولية، على شكل مجموعة من الحدود والقضايا والأوليات والمسلمات والمبرهنات.
ولإقليدس بعض المبادئ التي ذكرت على لسانه ،ومنها :
ما قدم بدون دليل يمكن رفضه بدون دليل
وضع إقليدس نظام البديهيات. وقد اعتبرت هندسة إقليدس منذ ذلك العهد نموذجا للبرهان المنطقي. ومن التعاريف التي وضعها إقليدس:
(النقطة هي ما لا يكون لها جزء) (المستقيم طول ليس له عرض) أما البديهيات فقسمها الي بديهيات ومسلمات فمثلا من البديهيات:
1. الأشياء التي تساوي شيئا واحدا تكون متساوية.
2. إذا أضيفت متساويات إلى متساويات يكون المجموع متساويا.
3. الأشياء التي ينطبق بعضها على بعض تكون متساوية.
4. الكل أكبر من جزئه.
ومن مسلمات إقليدس:
1. المستقيم يمكن أن يرسم من نقطة إلى نقطة أخرى.
2. القطعة المستقيمة المحدودة يمكن أن تمتد إلى خط مستقيم.
3. كل الزوايا القائمة يساوي بعضها بعضا ؛ إلخ.
ويتكون النظام الهندسي الإقليدسي من الحدود (أو التعريفات) والبديهيات والافتراضات والنظريات المشتقة.
بقيت هندسة إقليدس (أو الهندسة الإقليدية) تدرس كما هي حتى القرن التاسع عشر حيث اكتشفت الهندسة اللاإقليديةمع كل من لوبتشيفسكي وريمان.
خوارزمية إقليدس في نظرية الأعداد
هي خوارزمية لحساب القاسم المشترك الأكبر لعددين طبيعيين ، تظهر أهميتها الأساسية في عدم حاجتنا لتحليل الرقمين كي نتمكن من حساب القاسم المشترك الأكبر لهما ، وتتميز بكونها إحدى أقدم الخوارزميات حيث ترجع إلى سنة 300 ق.م .
وصف الخوارزمية
القاسم المشترك الأكبر لعددين طبيعيين A ، B يساوي القاسم المشترك الأكبر للعدد الثاني B و باقي قسمة A على B ، ونكرر العملية نفسها حتى يصبح باقي القسمة مساويا الصفر ، عندئذ يكون القاسم المشترك الأكبر هو العدد الآخر.
حيث :
r باقي قسمة A على B
N هو القاسم المشترك الأكبر.
مثال
القاسم المشترك الأكبر للعددين 252 و 198 :
252 = 198 * 1 + 54 ‘ أربع وخمسون هو باقي قسمة 252 على 198
فنجد القاسم المشترك للعددين 198 و 54
198 = 54 * 3 + 36 ‘ ست وثلاثون هو باقي القسمة.
نكرر العملية هذه المرة مع : 54 و 36
54 = 36 * 1 + 18
مرة أخرى : 36 = 18 * 2 + 0
هنا وصلنا للصفر فيكون العدد الثاني 18 هو القاسم المشترك الأكبر.
منيال باوزير 3/3 طبيعي
الأحد مايو 04, 2014 2:58 am