القطوع المخروطية

 






التعريف التحليلي

في التحليل الرياضي القطع المخروطي هو المحل الهندسي لنقطة تتحرك بحيث تكون العلاقةُ بينَ بعدها عن نقطةٍ ثابتةٍ وبعدها عن مستقيمٍ ثابتٍ نسبةً ثابتةً. تسمى هذه النسبة الاختلاف المركزي (Eccentricity)، كما تسمى النقطة الثابتة البؤرة (Focus)، أما المستقيم الثابت فيسمى الدليل (directrix).
PS = e. PM
حيث:
- P هي نقطة (x,y) تقع على القطع.
- S البؤرة
- e معامل الاختلاف المركزي
- و m هي مسقط العمودي ل P على الدليل.
إذا كان الاختلاف المركزي مساويا للوحدة (عدد الواحد الصحيح) سُمِّيَ المنحنى قطعا مكافئا (Parabola)، وإذا كان الاختلاف المركزي أقل من الوحدة (الواحد الصحيح) سمي المنحنى قطعا ناقصا (Ellipse)، وإذا كان الاختلاف المركزي أكبر من الوحدة (الواحد) سمي المنحنى قطعا زائدا(Hyperbola).
وتسمى القطوع المكافئة والناقصة والزائدة بالقطوع المخروطية، لأنه يمكن أن تتولد نتيجة قطع السطح المخروطي بمستو في وضع معين.



أنواع القطوع المخروطية :

لها ثلاثة أنواع هي القطع المكافئ (شلجم)، الزائد (هذلول)،والناقص (إهليج). وقد تُعدُّ الدائرة نوعًا رابعًا (كما عدَّها أبولونيو) أو يمكن عدُّها نوعا من القطوع الناقصة. يتشكل القطع الناقص و الدائرة عندما يكون تقاطع المستوى والمخروط منحنى مغلق. تتشكل الدائرة عندما يكون المستوى القاطع موازيًا لدائرة القاعدة المولدة للمخروط. بالنسبة لمخروط يميني (كما في الشكل المقابل في أعلى الصورة) يكون المستوى القاطع عموديًا على محور تماثل المخروط. إذا كان المستوى القاطع موازيا لخط واحد فقط من الخطوط المولدة للمخروط حينها يصبح القطع مفتوحًا وليس مغلقًا فيسمى قطعًا مكافئًا. وفي الحالة الأخيرة يتكون القطع الزائد عندما يتقاطع المستوى مع نصفي المخروط الإثنين، مكونًا بذلك منحنيين منفصلين ومفتوحين، يتم في الغالب تجاهل أحدهما والعمل بالآخر.


حالات شاذة
توجد حالات شاذة تنتج عندما يمر المستوى القاطع برأس المخروط Apex. التقاطع في هذه الحالات قد يكون خطًا مستقيما (إذا كان المستوى مماسًا لسطح المخروط)؛ أو نقطة (إذا كانت الزاوية بين المستوى ومحور المخروط أكبر من المماس)؛ أو زوجا من الخطوط المتقاطعة (عندما تكون الزاوية أصغر).
عندما يصبح المخروط أسطوانة أي عندما يكون الرأس واقعا في منطقة اللانهاية تنتج قطوع أسطوانية. بالرغم من أن ذلك يتسبب غالبًا في قطع ناقص أو دائرة، إلا أن هناك حالة شاذة تنتج خطين متوازيين.